设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为P1=[1,1,1]',求A.

Question

如题所述

Answer 1

实对称阵对应不同特征值的特征向量正交

设3的特征向量(a,b,c)则(1,1,1)(a,b,c)=a+b+c=0，得两个特征向量(1,0,-1),(0,-1,1).

所得p=((1,1,1)'(1,0,-1)'(0,-1,1)')，再求p-1

p-1Ap=A的相似矩阵

所以有 A = Pdiag(6,3,3)P^-1=4 1 1

1 4 1

1 4 1

例如：

实对称矩阵的特征向量是互相正交的，

因此需要找两个向量P2和P3，它们互相正交，专都和P1正交。

用Schmidt正交化程序属不难找出P2=[1,0,-1]T和P3=[1,-2,1]T

组成矩阵P=[P1 P2 P3]

令D=diag(3,6,6)是对角阵

则A=PDP^(-1)

扩展资料：

该特征值方程的一个解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数，称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。

在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。但是，每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N = N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数，也就在t=0的初始数量。

参考资料来源：百度百科-特征向量

Answer 2

根据实对称阵性质,属于不同特征值的特征向量正交.
设属于3的特征向量为(a,b,c)' 正交于(1,1,1)'
即有a+b+c=0,它的两个线性无关解为(-1,1,0)'和(-1,0,1)'
刚好是属于3的两个线性无关特征向量
(-1,1,0)'和(-1,0,1)'经过施密特正交化方法得：
(-1,1,0)'和(-1/2,-1/2,1)
再将三个特征向量单位化得：
(1/√3,1/√3,1/√3)'
(-1/√2,1/√2,0)'
(-1/√6,-1/√6,√6/3)'
设上面的矩阵为P'
那么
A=P*diag(6,3,3)*P'=
[4,1,1
1,4,1
1,1,4]