实对称矩阵的特征值之和等于其主对角线上元素之和吗？

Question

如题所述

Answer 1

等于。

具体证明如下：

写出行列式|λE-A|

根据定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和。

要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积。

（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)

所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)

而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)

所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn

扩展资料：

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解  ，  称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。

若B可逆，则原关系式可以写作  ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为  A矩阵未必是对称的。

参考资料来源：百度百科——矩阵特征值

Answer 2

等于。

具体证明如下：

写出行列式|λE-A|

根据定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和。

要得到λ^(n-1)只能取对角线上元素的乘积。

（λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)

所以特征多项式的n-1次项系数是-(a11+a22+...+ann)

而特征多项式=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn),n-1次项系数是-(λ1+λ2+...+λn)

所以a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn

扩展资料

实对称矩阵主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

参考资料来源：百度百科——矩阵特征值

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Answer 3

不只是是实对称矩阵，对于n阶矩阵A，
A为任意，则有A的迹都等于A特征值和。本回答被网友采纳

Answer 4

是的，它的特征值的和是一个定值,是这个矩阵的迹

Answer 5

当然
不仅是实对称矩阵，这个结论对于一般的复方阵都是成立的本回答被提问者和网友采纳