要明确实际波动率，首先要从波动率的概念入手。波动率（Volatility）：是指关于资产未来价格不确定性的度量。它通常用资产回报率的标准差来衡量。也可以指某一证券的一年最高价减去最低价的值再除以最低价所得到的比率。业内将波动率定义为价格比率自然对数的标准差。波动率的种类有：实际波动率，隐含波动率，历史波动率等等，实际波动率便是波动率的一种。
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实际波动率
什么是已实现波动率？
实际波动率是通过分析定义时间内的历史收益来评估投资产品收益的变化。可以使用实体股票价格的波动性/波动性来评估对公司投资的不确定性和/或潜在的财务损失/收益的评估。在统计中，最常用的确定变异性的度量是通过测量标准偏差，即平均值的收益率变异性。它是实际价格风险的指标。
市场中已实现的波动率或实际波动率是由两个因素引起的：持续波动性成分和跳跃成分，这会影响股票价格。股票市场的持续波动受到日内交易量的影响。例如，单笔大宗交易可能会导致工具价格发生重大变化。
分析师利用高频日内数据来确定每小时/每天/每周或每月一次的波动性度量。然后可以将数据用于预测收益的波动性。
已实现的波动率公式
通过计算与给定时间段内资产平均价格的标准差来衡量。由于波动率是非线性的，因此首先通过将收益从股票/资产转换为对数值并测量对数正态收益的标准偏差来计算已实现的方差。
已实现波动率的公式是已实现方差的平方根。
标的的每日收益差异计算如下：
r t = log（P t）-log（P t-1）
P =股价
t =时间段
考虑到股票价格走势的上升和下降趋势，此方法假定均值设置为零。
通过计算定义的时间段内的收益总额来计算已实现的方差
其中N =观察数（每月/每周/每天的回报）。通常，将计算20天，50天和100天的回报。
已实现波动率（RV）公式=√已实现方差
然后将结果进行年度化。通过将每日已实现的方差乘以一年中的多个交易日/周/月来对已实现的波动率进行年度化。年化已实现方差的平方根是已实现波动率。
实际波动率的例子
您可以在此处下载此已实现波动率Excel模板–已 实现波动率Excel模板
例子1
例如，对于具有相似收盘价的两只股票，假定的已实现波动率是针对股票计算20天，50天和100天的值，并按如下所示的值进行年度化：
库存1 库存2
RV 100 = 25％ RV 100 = 20％
RV 50 = 35％ RV 50 = 17％
RV 20 = 50％ RV 20 = 15％
从给定时间范围内的波动性增加的模式来看，可以推断出股票1的交易价格最近变化很大（即20天），而股票2的交易却没有任何剧烈波动。
范例＃2
让我们计算20天道琼斯指数的实现波动率。可以从雅虎财务等在线网站以excel格式提取每日股票价格的详细信息。
股价波动如下图所示。
可以观察到，股票价格正在下跌，最大价格偏差为6美元。
每日收益的偏差计算如下：
日收益的方差是日偏差的平方。
20天的已实现方差的计算是20天的总回报。而已实现波动率的公式是已实现方差的平方根。
介绍
本文比较了几个时间序列模型，以预测SP 500指数的每日实际波动率。基准是SPX日收益系列的ARMA-EGARCH模型。将其与GARCH模型进行比较 。最后，提出了集合预测算法。
假设条件
实际波动率是看不见的，因此我们只能对其进行估算。这也是波动率建模的难点。如果真实值未知，则很难判断预测质量。尽管如此，研究人员为实际波动率开发了估算器。Andersen，Bollerslev Diebold（2008） 和 Barndorff-Nielsen and Shephard（2007） 以及 Shephard and Sheppard（2009） 提出了一类基于高频的波动率（HEAVY）模型，作者认为HEAVY模型给出了 很好的 估计。
假设：HEAVY实现的波动率估算器无偏且有效。
在下文中，将HEAVY估计量作为 观察到的已实现波动率 来确定预测性能。
数据来源
SPX每日数据（平仓收益）
SPX盘中高频数据（HEAVY模型估计）
VIX
VIX衍生品（VIX期货）
在本文中，我主要关注前两个。
数据采集
实际波动率估计和每日收益
我实现了Shephard和Sheppard的模型，并估计了SPX的实现量。
head(SPXdata)SPX2.rv SPX2.r SPX2.rs SPX2.nobs SPX2.open2000-01-03 0.000157240 -0.010103618 0.000099500 1554 34191.162000-01-04 0.000298147 -0.039292183 0.000254283 1564 34195.042000-01-05 0.000307226 0.001749195 0.000138133 1552 34196.702000-01-06 0.000136238 0.001062120 0.000062000 1561 34191.432000-01-07 0.000092700 0.026022074 0.000024100 1540 34186.142000-01-10 0.000117787 0.010537636 0.000033700 1573 34191.50SPX2.highlow SPX2.highopen SPX2.openprice SPX2.closeprice2000-01-03 0.02718625 0.005937756 1469.25 1454.482000-01-04 0.04052226 0.000000000 1455.22 1399.152000-01-05 -0.02550524 0.009848303 1399.42 1401.872000-01-06 -0.01418039 0.006958070 1402.11 1403.602000-01-07 -0.02806616 0.026126203 1403.45 1440.452000-01-10 -0.01575486 0.015754861 1441.47 1456.74DATE SPX2.rvol2000-01-03 2000-01-03 0.0125395372000-01-04 2000-01-04 0.0172669342000-01-05 2000-01-05 0.0175278642000-01-06 2000-01-06 0.0116721032000-01-07 2000-01-07 0.0096280842000-01-10 2000-01-10 0.010852972
SPXdata$SPX2.rv 是估计的实际方差。 SPXdata$SPX2.r 是每日收益（平仓/平仓）。 SPXdata$SPX2.rvol 是估计的实际波动率
SPXdata$SPX2.rvol
基准模型：SPX每日收益率建模
ARMA-EGARCH
考虑到在条件方差中具有异方差性的每日收益，GARCH模型可以作为拟合和预测的基准。
首先，收益序列是平稳的。
Augmented Dickey-Fuller Testdata: SPXdata$SPX2.rDickey-Fuller = -15.869, Lag order = 16, p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary分布显示出尖峰和厚尾。可以通过t分布回归分布密度图来近似 。黑线是内核平滑的密度，绿线是t分布密度。
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acf(SPXdata$SPX2.r) ##自相关系数图
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Box-Ljung testdata: SPXdata$SPX2.rX-squared = 26.096, df = 1, p-value = 3.249e-07自相关图显示了每周相关性。Ljung-Box测试确认了序列存在相关性。
Series: SPXdata$SPX2.r ARIMA(2,0,0) with zero mean Coefficients:ar1 ar2-0.0839 -0.0633s.e. 0.0154 0.0154sigma^2 estimated as 0.0001412: log likelihood=12624.97AIC=-25243.94 AICc=-25243.93 BIC=-25224.92auro.arima 表示ARIMA（2,0,0）可以对收益序列中的自相关进行建模，而eGARCH（1,1）在波动率建模中很受欢迎。因此，我选择具有t分布的ARMA（2,0）-eGARCH（1,1）作为基准模型。
*---------------------------------** GARCH Model Spec **---------------------------------*Conditional Variance Dynamics ------------------------------------GARCH Model : eGARCH(1,1)Variance Targeting : FALSE Conditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model : ARFIMA(2,0,0)Include Mean : TRUE GARCH-in-Mean : FALSE Conditional Distribution------------------------------------Distribution : std Includes Skew : FALSE Includes Shape : TRUE Includes Lambda : FALSE我用4189个观测值进行了回测（从2000-01-03到2016-10-06），使用前1000个观测值训练模型，然后每次向前滚动预测一个，然后每5个观测值重新估计模型一次 。下图显示 了样本外 预测和相应的实际波动率。
预测显示与实现波动率高度相关，超过72％。
cor(egarch_model$roll.pred$realized_vol, egarch_model$roll.pred$egarch.predicted_vol,method = "spearman")[1] 0.7228007
误差摘要和绘图
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -0.0223800 -0.0027880 -0.0013160 -0.0009501 0.0003131 0.0477600
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平均误差平方（MSE）：
[1] 1.351901e-05改进：实际GARCH模型和LRD建模
实际GARCH
realGARCH 该模型由 Hansen，Huang和Shek（2012） （HHS2012）提出，该模型 使用非对称动力学表示将实际（已实现）波动率测度与潜在 真实波动率联系起来。与标准GARCH模型不同，它是收益和实际波动率度量的联合建模（本文中的HEAVY估计器）。
模型：
*---------------------------------** GARCH Model Spec **---------------------------------*Conditional Variance Dynamics ------------------------------------GARCH Model : realGARCH(2,1)Variance Targeting : FALSE Conditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model : ARFIMA(2,0,0)Include Mean : TRUE GARCH-in-Mean : FALSE Conditional Distribution------------------------------------Distribution : norm Includes Skew : FALSE Includes Shape : FALSE Includes Lambda : FALSE滚动预测过程与上述ARMA-EGARCH模型相同。下图显示 了样本外 预测和相应的实际波动率。
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预测与实际的相关性超过77％
cor(arfima_egarch_model$roll.pred$realized_vol, arfima_egarch_model$roll.pred$arfima_egarch.predicted_vol,method = "spearman")[1] 0.7707991
误差摘要和图：
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -1.851e-02 -1.665e-03 -4.912e-04 -1.828e-05 9.482e-04 5.462e-02均方误差（MSE）：
[1] 1.18308e-05备注：
用于每日收益序列的ARMA-eGARCH模型和用于实际波动率的ARFIMA-eGARCH模型利用不同的信息源。ARMA-eGARCH模型仅涉及每日收益，而ARFIMA-eGARCH模型基于HEAVY估算器，该估算器是根据日内数据计算得出的。RealGARCH模型将它们结合在一起。
以均方误差衡量，ARFIMA-eGARCH模型的性能略优于realGARCH模型。这可能是由于ARFIMA-eGARCH模型的LRD特性所致。
集成模型
随机森林
现在已经建立了三个预测
ARMA egarch_model
realGARCH rgarch model
ARFIMA-eGARCH arfima_egarch_model
尽管这三个预测显示出很高的相关性，但预计模型平均值会减少预测方差，从而提高准确性。使用了随机森林集成。
varImpPlot(rf$model)
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随机森林由500棵树组成，每棵树随机选择2个预测以适合实际值。下图是拟合和实际波动率。
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预测与实际波动率的相关性：
[1] 0.840792误差图：
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均方误差：
[1] 1.197388e-05MSE与实际波动率方差的比率
[1] 0.2983654备注
涉及已实际量度信息的realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型优于标准的收益序列ARMA-eGARCH模型。与基准相比，随机森林集成的MSE减少了17％以上。
从信息源的角度来看，realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型捕获了日内高频数据中的增量信息（通过模型，HEAVY实际波动率估算）
进一步研究：隐含波动率
以上方法不包含隐含波动率数据。隐含波动率是根据SPX欧洲期权计算得出的。自然的看法是将隐含波动率作为预测已实现波动率的预测因子。但是，大量研究表明，无模型的隐含波动率VIX是有偏估计量，不如基于过去实际波动率的预测有效。 Torben G. Andersen，Per Frederiksen和Arne D. Staal（2007） 同意这种观点。他们的工作表明，将隐含波动率引入时间序列分析框架不会带来任何明显的好处。但是，作者指出了隐含波动率中增量信息的可能性，并提出了组合模型。
因此，进一步的发展可能是将时间序列预测和隐含波动率（如果存在）的预测信息相结合的集成模型。
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