∫1/ ∫1/（x+³√x）dx
∫1/（x+³√x）dx 令³√x=t，得x=t³，dx=3t²dt
解（1）∫1/（x+³√x）dx
=∫1/（t³+t ）x 3t²dt
=∫1/（t²+1） x 3tdt
=3/2∫1/（1+t²）d（1+t²）
= 3/2 ln（1+t²）+c 正确
解（2）∫1/（x+³√x）dx
=∫1/（t³+t ）x 3t²dt
=∫1/（t²+1） x 3tdt
=3/2∫1/（1+t²）dt
= 3/2arctan（1+t²）+c 错误在哪里。
令t＝6√x
t^6=x
x'=6t^5
原式=∫[1/(t^3+t^2)x6t^5]dt
=∫[6t^2(t^3+t^2)-6t^3]/(t³+t²)dt
=∫[6t^2-6t-6(t³+t²)-6t^2/t³+t²]dt
=∫[6t^2-6t-6(t³+t²)-6-6/t+l]dt
=2t^3-3t^2-6t-6ln(t+1)+C
代入得：2√X-3³√X-6^6√X-6ln(^6√X+1)+C
分子降幂，降到比分母的最高次低，再约掉。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n）。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！
参考资料来源：百度百科——不定积分
## 凑微分
解法二倒数第二行凑微分后应该是tdt=1/2d(t^2)
∫ 1/[1+x^(1/3)] dx
=∫ 3u²/(1+u) du
=3∫ (u²-1+1)/(1+u) du
=3∫ (u-1) du + 3∫ 1/(1+u) du
=(3/2)u² - 3u + 3ln|u+1| + C
=(3/2)x^(2/3) - 3x^(1/3) + 3ln|x^(1/3)+1| + C
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