解答
(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=ax−2x+(2a−1)=−(2x+1)(x−a)x，
若a⩽0,则f′(x)<0,此时f(x)在(0,+∞)递减，不符合题意。
若a>0,则由f′(x)=0，解得：x=a，
当0<x<a时,f′(x)<0，
当x>a时,f′(x)>0，
此时f(x)在(0,a)递增,在(a,+∞)递减；
要使函数f(x)=alnx−x2+(2a−1)x(a∈R)有两个不同的零点。只需f(a)=alna+a2−a>0即可。
令h(a)=alna+a2−a(a>0)，
h′(a)=lna+2a,.易知h′(a)=lna+2a在(0,+∞)递增。
且h′(1)>0,∴存在x0∈(0,1)使h′(x0)=0，
∴a∈(0,x0)时,h(a)递减,a∈(x0,+∞)h(a)递增，
∴h(a)=alna+a2−a(a>0)，得草图如下：
∴a的取值范围为[1,+∞).
(2)令g(x)=f(x)−f(2a−x),x∈(0,a)
则g(x)=alnx−x2+(2a−1)x−aln(2a−x)−(2a−1)(2a−x)+(2a−x)2，
g′(x)=2(x−a)2x(2a−x)>0，
当0<x<a时,g′(x)<0,g(x)在(0,a)递增，
而g(a)=0,故g(x)<g(a)=0，
故0<x<a时,f(x)<f(2a−x)；
不妨设0<x1<x2,则0<x1<a<x2，
∴0a，
得：f(x1)=f(x2)<f(2a−x1)，
∵f(x)在(a,+∞)递减，
∴x2>2a−x1,即：x1+x2>2a.
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