特征值相乘是不是等于矩阵行列式？

Question

如题所述

Answer 1

是。

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

λ=0λ=0时，有|A|=λ1...λnl|A|=λ1...λnl。所以特征值之积等于矩阵行列式。另外特征值之和等于矩阵的迹的证明：

由此可看出(−1)n−1λn−1(−1)n−1λn−1项的系数为(λ1+...+λn)(λ1+...+λn)，而对于行列式|A−λE||A−λE|，从行列式定义的角度看，要获得λλ的n−1n−1次项，只有全部对角线元素的乘积才行。因为逆序一次，λλ的最大次数就已经等于n−2n−2了，而更多逆序只会让次数更小。

扩展资料：

注意事项：

阶矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹，阶矩阵的所有特征值之积等于矩阵的行列式。

设为阶矩阵的特征值，若为矩阵的属于特征值的特征向量，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。

实对称矩阵的特征值都是实数。

矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关，实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

参考资料来源：百度百科-对角矩阵