正方形ABCD中,点E为BC边上““点,连接AE,以AE为边在正方形内部作等腰直角△AEF,且∠AFE=90°,连接DF;

Question

24.如图,正方形ABCD中,点E为BC边上““点,连接AE,以AE为边在正方形内部作等腰直角△AEF,且∠AFE=90°,连接DF(1)如图1,点M为AE的中点,若∠BAE=30°,BM=2,求叫边形ABEF的的周长;(2)如图2,求证:AB=2DF+BEABBE图2

Answer 1

（1）解：因为正方形ABCD
所以角BAC=90度
所以三角形BAE是直角三角形
因为M是AE的中点
所以BM=AM=EM=1/2AE
AE^2=BE^2+AB^2
因为BM=2
所以AE=4
因为角BAE=30度
所以BE=1/2AE=2
AB=2倍根号3
因为三角形AEF是等于直接三角形，角AFE=90度
所以FA=FE
角FAE=角FEA=45度
AE^2=FA^2+FE^2
所以FA=FE=2倍根号2
因为四边形ABEF的周长=AB+BE+FE+FA=2倍根号3+2+4倍根号2
（2）证明：过点E作EM平行CD交AD于M ,连接BF ,MF
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=BC=AD=CD
角ABC=角BAD=角BCD=90度
AB平行CD
BC平行AD
所以AB平行EM
所以四边形ABEM是平行四边形
所以BE=AM
角BAD+角AME=180度
所以角AME=90度
因为角AFE=90度
所以角AFE=角AME=90度
所以A ,E ,F ,M四点共圆
所以角FEA=角FMD
因为角FEA=角FAE=45度（已证）
所以角FMD=45度
因为角ABC+角AFE=180度
所以A ,B ,E ,F四点共圆
所以角FAE=角FBC=45度
角FEA=角FBA=45度
所以角FBC=角FBA=45度
因为FB=FB
所以三角形FBC全等三角形FBA (SAS)
所以FA=FC
因为DF=DF
所以三角形FDA全等三角形FDC (SSS)
所以角ADF=角CDF=1/2角ADC=45度
所以角ADF=角FMD=45度
所以DF=MF
因为角ADF+角FMD+角DFM=180度
所以角DFM=90度
所以三角形DFM是等腰直角三角形
所以DM^2=DF^2+MF^2
所以DM=根号2DF
因为AD=AM+DM
所以AB=根号2DF+BE