x趋于无穷时f(x)趋于0,那么f(x)的导数一定趋于0吗?为什么

Question

f（x）在（0，+∞）上有界且可导

Answer 1

对函数割线的斜率，任取Δx>0，在x处：

     k(x)=(f(x+Δx)-f(x))/Δx；

f(x)→0（x→+∞），则(不知道极限的ε-δ表述你会不会)：

任取ε>0，存在M∈R,使得当x>M时，

     |f(x)|<ε，

     |k|<2ε/Δx；

而由于取ε时，已取Δx，则可令ε=(Δx)^2，

故   |k|<2Δx；

令Δx→0，k→f'(x)，k→0。

当然，这前提是f（x）在（0，+∞）上有界且可导，即连续；

若其不连续则没有Δx→0，k→f'(x)。

比如你可以在x-y系内构造出如下函数：(如附图)

(1)画出y=1/x 和y=-1/x  (x>0)；

(2)在两条线之间一些画出平行斜线。

这些斜线组成的函数就满足x趋于无穷时f(x)趋于0，f(x)的导数不趋于0。