判断一个函数在一个区间无零点或只有一个零点的基本思路

Question

如题所述

Answer 1

基本思路如下：这里假设函数在区间(a,b)内连续且可导。
1. 如果函数在区间单调(即导数的符号不变），且f(a)f(b)<0, 则此区间有且仅有一个零点。
2. 如果函数在区间单调(即导数的符号不变），且f(a)f(b)>0, 则此区间无零点。
3. 如果函数在区间不单调(即导数的符号会改变），且f(a)f(b)<0, 则此区间至少有一个零点，还需根据极值点判断其是否有多于1个零点。
4. 如果函数在区间不单调(即导数的符号会改变），但f(a)f(b)>0, 那至少存在一点p其导数为0,即f'(p)=0。如果f(p)f(a)<0，则此区间至少有一个零点，否则没零点。若有多个导数为0的点需逐一同上讨论。

Answer 2

在该区间内，函数为单调函数。