如图，在正方形ABCD中.

Question

(1)若点E,F分别在AB,AD上，且AE=DF，试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由（2）若P,Q,M,N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN,问PQ⊥MN成立吗?为什么？

Answer 1

(1)DE=CF,且DE垂直CF.

证明:∵AE=DF,AD=CD,∠A=∠CDF=90°.

∴ ⊿DAE≌⊿CDF(SAS),DE=CF;∠ADE=∠DCF.

故∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°,得DE垂直CF.

(2)当PQ=MN时,PQ⊥MN,不一定成立.

(如图所示,点击看大图)

当PQ与MN垂直时,作ME垂直BC于E,PF垂直CD于F,易证得PQ=MN;

在EC上截取EN'=EN,连接MN',则ME垂直平分NN',故MN=MN'.

所以当MN在MN'位置时,虽然MN'=PQ,可是它们并不垂直.