在正方形ABCD所在的平面内有一点p，角APC=90° 图1，当点P与点D重合时，显有结论：PA+PC=根号2PB
（1）如图2，上述结论还成立吗？请证明。
（2）如图3，PA、PB、PC满足怎样的等量关系？请证明。
如图：
②AP延长线上取G,使PG＝PC ∠AGC＝∠BPC＝45º ∠A＝∠B ⊿AGC∽⊿BPC
AG/BP＝AC/BC＝√2 即PA+PC＝√2PB
③AP上取G,使PG＝PC ∠AGC＝∠BPC＝135º ∠A＝∠B ⊿AGC∽⊿BPC
AG/BP＝AC/BC＝√2 即PA-PC＝√2PB
参考资料：RT
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第1个回答 2011-12-03
(1)绕B点逆时针旋转△BCP 使BC与AB重合 旋转后C点与A点重合 P点落在E点
则△BCP≌△BAE
则∠BAE=∠BCP AE=CP EB=PB ∠PBC=∠ABE
在四边形ABCP中 ∠ABC=∠CPA=90
因为四边形内角和为360°
则可得出∠PCB+∠PAB=180
则 ∠PAB+∠BAE=180 则EAP三点共线
又因为∠ABC=90 ∠PBC=∠ABE
则∠PBE=∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠PBC=90
则△PEB为等腰直角三角形 且PE=AP+AE=AP+PC
PE=根号2PB=AP+PC
(2) 连接DP 则由上一问可得根号2PD=AP+PC
以对角线中点为圆心 以对角线为直径画圆 得出A B CD P五点都在这个圆上
则由勾股定理得 AP^2+PC^2=AC^2
BD^2=DP^2+BP^2 AC=BD
2PD^2=AP^2+PC^2+2AP*PC
联立以上各式
得出 2BP^2=（AP-PC）^2
即 AP-PC=根号2BP本回答被提问者采纳
则△BCP≌△BAE
则∠BAE=∠BCP AE=CP EB=PB ∠PBC=∠ABE
在四边形ABCP中 ∠ABC=∠CPA=90
因为四边形内角和为360°
则可得出∠PCB+∠PAB=180
则 ∠PAB+∠BAE=180 则EAP三点共线
又因为∠ABC=90 ∠PBC=∠ABE
则∠PBE=∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠PBC=90
则△PEB为等腰直角三角形 且PE=AP+AE=AP+PC
PE=根号2PB=AP+PC
(2) 连接DP 则由上一问可得根号2PD=AP+PC
以对角线中点为圆心 以对角线为直径画圆 得出A B CD P五点都在这个圆上
则由勾股定理得 AP^2+PC^2=AC^2
BD^2=DP^2+BP^2 AC=BD
2PD^2=AP^2+PC^2+2AP*PC
联立以上各式
得出 2BP^2=（AP-PC）^2
即 AP-PC=根号2BP本回答被提问者采纳
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