求一题多解，高中数学题

Question

X,Y>0，2X+Y+6=XY,求XY最小值（2解法，非换元法）

A+B+C=1,求证A^2+B^2+C^2>=1/3（3解法，无限制）

Answer 1

X,Y>0，2X+Y+6=XY,求XY最小值（2解法，非换元法）均值不等式法：2X+Y+6=XY≥2√2xy＋6,∴XY－2√2xy－6≥0,∴﹙√xy－3√2﹚﹙√xy＋√2﹚≥0,∵X,Y>0,∴√xy－3√2≥0,∴√xy≥3√2,∴xy≥18,
XY最小值是18.
A+B+C=1,求证A^2+B^2+C^2>=1/3（3解法，无限制）2AB≤A²＋B²,2AC≤A²＋C²,2BC≤B²＋C²,∴2AB＋2AC＋2BC≤A²＋B²＋B²＋C²＋C²＋A²,两边同时加上A²＋B²＋C²得到：A²＋B²＋C²＋2AB＋2AC＋2BC≤3﹙A²＋B²＋C²﹚∴﹙A＋B＋C﹚²≤3﹙A²＋B²＋C²﹚∵A+B+C=1，∴A^2+B^2+C^2>=1/3。

Answer 2

X,Y>0，2X+Y+6=XY,求XY最小值
解：2X+Y+6≥2√（2xy)+6
XY≥2√（2xy)+6
(√XY)^2-2√（2xy)-6≥0
√XY≥3√2
XY≥18
XY最小值18

A+B+C=1,求证A^2+B^2+C^2>=1/3
解：A+B+C=1
（A+B+C)^2=1
A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=1
又因A^2+B^2≥2AB
A^2+C^2≥2AC
B^2+C^2≥2BC
所以2AB+2AC+2BC≤2（A^2+B^2+C^2）
1-（A^2+B^2+C^2）≤2（A^2+B^2+C^2）
所以A^2+B^2+C^2>=1/3

希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O,也别忘了采纳！

Answer 3

1.2X+Y+6=XY≥2√2XY+6
XY-2√2XY-6≥0
（√XY-√2）²-8≥0
√XY≥3√2
XY≥18
2. A+B+C=1≥3 3√ABC→ABC≤1/3^3
A^2+B^2+C^2≥3 3√A^2B^2C^2≤1/3
∴A^2+B^2+C^2>=1/3

其它解法我不知道了

Answer 4

令2X+Y+6=XY=a，a>0，求XY最小值就相当于求函数2X+Y+6=a，XY=a的切点（画图可知），然后根据根的个数会求出a=2或18，2不符合条件，舍去，则XY最小值为18

用柯西不等式，设两个数列a，b，c ；1，1，1.根据（a*1+b*1+c*1)≤（a^2+b^2+c^2）*(1^2+1^2+1^2），得解
用切比雪夫不等式，设有两个数列a，b，c；a，b，c。根据对称性不妨设a≥b≥c，则（a*a+b*b+c*c）≥（1/3）*（a+b+c)(a+b+c),得解