已知A为三阶方阵，s1，s2，s3是A的三个不同特征值，v1v2v3分别为相应于s123的特征向量，且B=v1+v2+v3＂

Question

证明 B，AB，A^2B线性无关。。。。。。

Answer 1

B=v1+v2+v3
AB=Av1+Av2+Av3=s1v1+s2v2+s3v3
A^2B=A^2v1+A^2v2+A^2v3=s1^2v1+s2^2v2+s3^2v3

记P=(v1,v2,v3)是一个可逆矩阵，C=
1 s1 s1^2
1 s2 s2^2
1 s3 s3^2
注意到C的行列式不为零（范德蒙德行列式）。故C可逆。

(B,AB,A^B)=PC
而P和C都可逆，故(B,AB,A^B)可逆，即r(B,AB,A^B)=3

故 B，AB，A^2B线性无关