如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证

Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）点E是线段DB上的一动点，当二面角A-EM-D大小为π3时，试求DEDB的值．

Answer 1

（1）证明：过点D作DO⊥AM于点O，
因为AB=2，AD=1，M为DC的中点，所以AM=AD，所以O为AM中点．
因为平面ADM⊥平面ABCM，所以DO⊥平面ABCM，所以DO⊥BM，
又因为AM＝BM＝

2

，AB=2，所以△ABM为等腰直角三角形，
所以AM⊥BM，且AM∩DO=O，
所以BM⊥平面ADM，所以AD⊥BM；
（2）解：因为AD⊥BM，且AD⊥DM，所以AD⊥平面BMD，
过点D做EM的垂线交EM于T，连接AT，则可知∠DTA就是所求的平面角，所以∠DTA＝

π

3

，
因为DT＝

3

3

，所以sin∠DME＝

3

3

．
又因为sin∠MBD＝

3

3

，所以△DEM～△DMB，
解得DE＝

3

3

，所以

DE

DB

＝

1

3

．