证明过程如下：
注意到图中那个灰色的带环就是表面积的微元dS，它应该等于这个带子的周长乘以宽度，带子的周长为2πf(x)。
主要是宽度，注意，这里宽度不是dx（一个容易出错的地方），因为这个带子的宽度并不是一个线段，而是弧线，因此这里要用弧微分，就是ds，根据弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx这样我们就可得到微元，dS=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。
扩展资料：
表面积公式：
柱体
棱柱体表面积（n为棱柱的侧棱条数，即侧面数）
S=n*S侧 + 2*S底
圆柱体表面积（“U底”为底面圆的周长，R为底面圆的半径）
S=U底*h + 2πR^2
S=2πR*h + 2πR^2
锥体
棱锥体表面积（n为棱锥的斜棱条数，即侧面数）
S=n*S侧(三角形) + S底
圆锥体表面积
S=S扇 + S底
S=1/2*L(母线)*2πR + πR^2
台体
棱台体表面积（n为棱锥的棱条数，即侧面数）
S=n*S侧(梯) + S上底 + S下底
参考资料来源：百度百科--旋转体
参考资料来源：百度百科--表面积
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