如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点 G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE

Question

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点 G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer 1

解：（1）结论①、②成立 （2）结论①、②仍然成立 理由为： ∵四边形ABCD为正方形     ∴AD=DC=CB 且∠ADC=∠DCB=90 。      在Rt△ADF和Rt△ECD中 AD=DC ，∠ADC=∠DCB， CE=DF      ∴Rt△ADF≌ Rt△ECD（SAS）      ∴AF=DE ∴∠DAF=∠CDE       ∵∠ADE+∠CDE=90 。 ∴∠ADE+∠DAF=90 。        ∴ ∠AGD=90 。 ∴AF⊥DE （3）结论：四边形MNPQ是正方形  证明：∵AM=ME AQ=QD ∴MQ DE      同理可证： PN DE， MN AF， PQ AF     ∵AF=DE ∴MN=NP=PQ=QM     ∴四边形MNPQ是菱形     又∵AF⊥DE     ∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90 。     ∴四边形MNPQ是正方形