a的伴随矩阵的行列式的值是什么？

Question

如题所述

Answer 1

│A*│与│A│的关系是│A*│=│A│^(n-1)证明：A*=|A|A^(-1)。

│A*│=|│A│*A^(-1)|。

│A*│=│A│^(n)*|A^(-1)|。

│A*│=│A│^(n)*|A|^(-1)。

另：｜A*｜=｜A｜^(n-1)。

讨论一下,若r(A)=n。

则AA*=|A|E,故|A||A*|=|A|^n。

即|A*|=|A|^(n-1)若r(A)。

注意事项：

A不可逆的话A*显然不可逆，所以结论显然。

如果A可逆，因为A*=cA^(-1)，这里c=|A|。

所以|A*|=|cA^(-1)|=c^n*|A^-1|=c^n*|A|^(-1)=|A|^n*|A|^(-1)=|A|^(n-1)。

注意行列式里提出矩阵系数时必须带n次方。