已知圆o是三角形abc的外接圆，be是ac边上的高，df垂直于ac于点f，连接ad。bd是直径。求

Question

已知圆o是三角形abc的外接圆，be是ac边上的高，df垂直于ac于点f，连接ad。bd是直径。求证:af＝ce

Answer 1

因为B D为直径
所以角BCD=角BAD=90度
因为AF垂直于FD
所以角AFD=角CFD=90度
所以角BCD=角AFD
又角FAD=1/2弧CD=角CBD
所以三角形AFD相似于三角形BCD
因为BE垂直于AC
所以角BEC=90度
所以角BEC=角CFD
又角BCE=角BCD-角FCD= 90度-角FCD=角FDC
所以三角形BCE相似于三角形CDF
由两个相似
AF/BC=FD/CD
CE/FD=BC/CD
所以AF=FD*(BC/CD)=FD*(CE/FD)=CE
证毕

Answer 2

证明：连接DC
∵BD是直径
∴∠BAC =90∴∠BAE+∠FAD =90
∵BC ⊥AC ,FD ⊥AC

∴∠BAE+∠ABE =90,
∠AEB =∠AFD =90
∴∠ABE=∠FAD
∴△AFD ∽△ABE
∴AD :AB =DF :AE

在RT△ABD中
tan∠ABD =AD :AB
∵∠ABD=∠FCD
∴tan∠FCD=AD：AB
在RT△fcD中
tan∠FCD=DF :CF

∴DF :AE=DF :CF
∴AE =CF

∵AE=Af +EF ,CF =EF +CE

∴Af +EF=EF +CE
∴AF=CE
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