证明P (A -B )=P (A) -P (AB )？

Question

如题所述

Answer 1

题目：对任意事件A，B，证明：|P(AB)-P(A)P(B)|<=1/4。
设A单独发生的概率为a，B单独发生的概率为b，AB同时发生的概率为c，AB同时不发生的概率为s，则
a+b+c+s=1
P(A)=a+c
P(B)=b+c
P(AB)=c
原式左侧=|c-(a+c)(b+c)|
=|c-ab-ac-bc-c*c|
=|(1-a-b-c)*c-ab|
=|sc-ab|
注意到a+b+c+s=1，abcs全为非负，所以a+b<=1，c+s<=1
由均值不等式得0<=ab<=1/4，0<=cs<1/4
所以-1/4<=sc-ab<=1/4
所以原式左侧=|sc-ab|<=1/4