（2014?甘孜州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点

Question

（2014?甘孜州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD?OE；（3）若cos∠BAD=35，BE=143，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=

1

2

BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

＝

AC

BC

，即BC²=AC?CD．
∴BC²=2CD?OE；
（3）解：∵cos∠BAD=

3

5

，
∴sin∠BAC=

BC

AC

=

4

5

，
又∵BE=

14

3

，E是BC的中点，即BC=

28

3

，
∴AC=

35

3

．
又∵AC=2OE，
∴OE=

1

2

AC=

35

6

．