初中几何动点问题

Question

已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t 秒． (1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积. (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t,求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 图片地址:
高手帮下忙!

Answer 1

(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，
此时由于角PMA=角QNB=90度，
角A=角B=60度，
所以直角三角形PMA全等于直角三角形QNB，
因此AM=BN。
移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t,
由AM=BN,t=3-t
即得 t=1.5.
此时直角三角形AMP中，AM=1.5，角A=60度，
所以MP=3/2*根号3，
又MN=1,
所以矩形面积为3/2*根号3。

(2)仍按上题的思路，如果M,N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t,
所以MP=根号3*t；
由于BN=4-t-1=3-t，
所以NQ=根号3*(3-t),
因为MN=1，
所以梯形MNQP的面积为:
SMNQP=1/2*MN*(MP+QN)
=1/2*(根号3*t+根号3*(3-t))
=3/2*根号3 为定值（即不随时间变化而变化）。
这时要求 1<t<2;
若 t<=1 或者 t>=2 则M,N两点都在底边中线同侧，比如第二个图和第三个图所示。在第二个图中，BM=t,BN=1+t,
所以梯形面积为:
1/2*1*(根号3*t+根号3*(1+t))=根号3/2*(2t+1),此时0<=t<=1
类似地也可求得 2<=t<=3 时 的情况，此时面积为 S=根号3/2*(7-2t)
综上，四边形MNQP的面积S随时间变化的函数为
S=根号3/2*(2t+1),此时0<=t<=1
S=3/2*根号3 ,此时1<t<2;
S=根号3/2*(7-2t), 此时2<=t<=3