已知函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=3，则f（2012）+f（

Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=3，则f（2012）+f（2014）+f（-2.5）等于（　　）A．-9B．9C．-3D．3

Answer 1

∵f（x-1）是奇函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1），即f（-x-1）+f（x-1）=0
又∵f（x）是偶函数，得f（-x-1）=f（x+1）
∴f（x+1）+f（x-1）=0…（*），
用x+2代替x，得f（x+3）+f（x+1）=0
两式对照，可得f（x+3）=f（x-1），即f[（x-1）+4]=f（x-1）
∴f（x+4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4
因此，f（2012）=f（0），f（2014）=f（2）
在（*）式中取x=1，得f（2）+f（0）=0，所以f（2012）+f（2014）=0
又∵f（0.5）=f（1-0.5）=-f（-1-0.5）=-f（-2.5）
∴f（-2.5）=-f（0.5）=-3
综上所述，得f（2012）+f（2014）+f（-2.5）=-3
故选：C