已知点A（-2，0）在椭圆 上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．（1）求椭圆E

Question

已知点A（-2，0）在椭圆 上，设椭圆E与y轴正半轴的交点为B，其左焦点为F，且∠AFB=150°．（1）求椭圆E的方程；（2）过x轴上一点M（m，0）（m≠-2）作一条不垂直于y轴的直线l交椭圆E于C、D点．（i）若以CD为直径的圆恒过A点，求实数m的值；（ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵∠AFB=150° ∴∠OFB=30°（O为坐标原点）在直角△BOF中，|FB|=2|OB| ∵a=2b ∵点A（﹣2，0）在椭圆 上 ∴a=2  ∴b=1  ∴椭圆 ； （2）∵直线l过x轴上一点M（m，0）（m≠﹣2）不垂直于y轴 ∴l：x=ty+m与椭圆方程联立 消元整理可得（t 2 +4）y 2 +2mty+m 2 ﹣4=0 ∴△=4m2t2﹣4（t2+4）（m2﹣4）＞0 ∴t 2 ＞m 2 ﹣4设C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ） ∴ ， （i）若以CD为直径的圆恒过A点，则 ∵ =（x 1 +2，y 1 ）， =（x 2 +2，y 2 ） ∴x 1 x 2 +2（x 1 +x 2 ）+4+y 1 y 2 = ∴ 或m=﹣2（舍去） ∴实数m的值为 ； （ii）若△ACD的重心恒在y轴的左侧，即重心的横坐标恒小于0，即 ，∴ ∴4m＜t2+4对所有符合条件的t恒成立 由t 2 ＞m 2 ﹣4知： ①若m 2 ﹣4＜0，即﹣2＜m＜2时，t 2 ∈[0，+∞） ∴t 2 +4≥4   ∴m＜1   ∴﹣2＜m＜1； ②若m 2 ﹣4≥0，即m≤﹣2或m≥2时，t 2 ∈（m 2 ﹣4，+∞），∴4m＜m 2 ，∴m≤0或m≥4 综上知，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪[4，+∞）