如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．（1）

Question

如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE=∠ECF=90°． ∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°． ∴∠AEB+∠BEA=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△ABE∽△ECF； （2）△ABH∽△ECM． 证明：∵BG⊥AC， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠ABH=∠ECM， 由（1）知，∠BAH=∠CEM， ∴△ABH∽△ECM； （3）解：作MR⊥BC，垂足为R， ∵AB=BE=EC=2， ∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°， ∴∠MER=45°，CR=2MR， ∴MR=ER= RC= ， ∴EM= = ．