求幂级数∑(n=1,∞) nx^n 的和函数。麻烦各位帮忙解答一下，谢谢啦！

Question

如题所述

Answer 1

解题过程如下：

设f(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)

记g(x)=f(x)/x=∑nx^(n-1)

积分得：G(x)=∑x^n=C+x/(1-x)

求导得：g(x)=1/(1-x)²

故f(x)=xg(x)=x/(1-x)²

扩展资料

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第一、三象限各象限内单调递增。

3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

4、当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

追答

忽略第一行

追问

倒数第二步是怎么得到的，幂级数的导数不会，可不可以详细点，谢谢啦！

追答

等比级数的和等于首项除于1减公比

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Answer 4

设f(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)
记g(x)=f(x)/x=∑nx^(n-1)
积分得：G(x)=∑x^n=C+x/(1-x)
求导得：g(x)=1/(1-x)²
故f(x)=xg(x)=x/(1-x)²

Answer 5

S - xS =x/(1-x), 故
S=x/[(1-x)^2]