矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。
证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。
假设A的列向量为a1,a2,a3...an ，它的一个极大线性无关部分组为 ai1,ai2...air，而经过初等行变换之后的列向量为a1',a2',a3...an' ，只需证明a1',a2',a3...air', 是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。
只需分别证明向量组 a1',a2',a3...air'（*）线性无关和a1',a2',a3...an' 中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程xi1ai1'，xi2ai2'，...xirair'=0 ，由于ai1,ai2...air 线性无关，线性方程组ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0 只有零解。而方程xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0 是由 ki1ai1,ki2ai2,...,kirair=0经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以xi1ai1',xi2ai2',...xirair'=0只有零解，于是ai1',ai2'...air' 线性无关。对于A 的任意一个列向量β ，都可被ai1,ai2...air 线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后， β'可以被（*）线性表出。
证毕。
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