怎样证明,四条边都相等的四边形是菱形?

Question

如题所述

Answer 1

[思路分析]
要证AMNE是菱形,可以根据定义,证得它是平行四边形,并且有一组邻边相等,也可以根据判定定理,证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分,注意到AN是∠DAC的平分线,只要证AM＝AE,则AN垂直平分ME,若证AN⊥ME,则再由BE平分∠ABN易知BE也垂直平分AN,即AN与ME互相垂直平分,故有AM＝MN＝NE＝AE,即AMNE是菱形,此为证法一．显然,在上述证法中,证得BE垂直平分AN后,可得AM＝MN,所以∠MNA＝∠MAN＝∠NAE,所以MN AE,则AMNE是平行四边形,又AM＝MN所以AMNE是菱形．
[解题过程]
因为∠BAC＝90°,AD⊥BC,所以∠BAD＝∠C
因为BE平分∠ABC,所以∠ABE＝∠EBC．因为∠AME＝∠BAD+∠ABE＝∠C+∠EBC＝∠AEM,所以AM＝AE,又因为AN平分∠DAC,所以AM＝MN,所以AM＝MN＝NE＝AE．所以AMNE是菱形．
证法二：同上,若证AN垂直平分ME,再证BE垂直平分AN,则AM＝MN,所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE．所以AMNE是平行四边形,由AM＝MN得AMNE是菱形．