阅读下面材料：问题：如图①，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若∠ BAD =∠ C =2∠ DAC =45°， DC

Question

阅读下面材料：问题：如图①，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若∠ BAD =∠ C =2∠ DAC =45°， DC =2．求 BD 的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中 BD 的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若∠ BAD =∠ C =2∠ DAC =30°， DC =2，求 BD 和 AB 的长． 图① 图②

Answer 1

（2）BD=2；

试题分析：解：（1） 折叠△ADC得△ACE。则AD=AE 则可证∠DAE=2∠DAC=45°=∠BAD，又因为在△ABC中，可证∠B=∠ADB=67.5°。所以AB=AD。 则证出△ABD≌△AED（SAS），所以可得BD=DE。且∠ADB=∠ADE=67.5°。所以∠EDC=180°-2∠ADB=45°。 所以Rt△DCE为等腰直角三角形。因为CD=2，通过勾股定理可求DE= 所以 .            （2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE， ∴△ADC≌△AEC. ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°. ∴△CDE为等边三角形. ∴DC＝DE. 在AE上截取AF＝AB，连接DF， ∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF. 在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE.   ∴BD＝DC＝2.  作BG⊥AD于点G， ∴在Rt△BDG中， .   ∴在Rt△ABG中， .                                   点评：本题难度较大，主要考查学生对全等三角形判定与性质等掌握。本题中带有提示可节省时间直接找出解题线索，审题是要抓住提示关键。