如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上

Question

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C，D的点，AE=3，圆O的直径为9．(Ⅰ)求证：平面ABCD⊥平面ADE； (Ⅱ)求二面角D-BC-E的平面角的正切值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：AE垂直于圆O所在平面，CD在圆O所在平面上，AE⊥CD，  在正方形ABCD中，CD⊥AD， ∵AD∩AE=A，CD⊥平面ADE， ∵CD 平面ABCD， ∴平面ABCD⊥平面ADE 。 (Ⅱ)解法一：CD⊥平面ADE，DE 平面ADE， ∴CD⊥DE， ∴CE为圆O的直径，即CE=9， 设正方形ABCD的边长为a， 在Rt△CDE中，DE 2 =CE 2 -CD 2 =81-a 2 ， 在Rt△ADE中，DE 2 =AD 2 -AE 2 =a 2 -9， 由 ，解得： ， ∴ ， 过点E作EF⊥AD于点F，作FC∥AB交BC于点G，连接GE，  由于AB⊥平面ADE，EF 平面ADE， ∴EF⊥AB， ∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD， ∵BC 平面ABCD， ∴BC⊥EF， ∵BG⊥FG，EF∩FG=F， ∴BC⊥平面EFG， ∵EG 平面EFG， ∴BC⊥EG， ∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角， 在Rt△ADE中，AD=3 ，AE=3，DE=6， ∵AD·EF=AE·DE， ， 在 中， ， ∴ ， 故二面角D-BC-E的平面角的正切值为 。  解法二：CD⊥平面ADE，DE 平面ADE，CD⊥DE， ∴CE为圆O的直径，即CE=9， 设正方形ABCD的边长为a， 在Rt△CDE中，DE 2 =CE 2 -CD 2 =81-a 2 ， 在Rt△ADE中，DE 2 =AD 2 -AE 2 =a 2 -9， 以D为坐标原点，分别以ED，CD所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E( -6，0，0)， ，   设平面ABCD的法向量为 ， 则 ，即 ， 取x 1 =l，则n 1 =(1，0，2)是平面ABCD的一个法向量， 设平面BCE的法向量为 n 2 =(x 2 ，y 2 ，z 2 )， 则 ，即 ， 取 ，则 是平面BCD的法向量， ∵ ， ，∴ 故二面角D-BC-E的平面角的正切值为 。