已知：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆O1和以O1C为直径的⊙O2交于点F，连CF并延长交AD于点H

Question

已知：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆O1和以O1C为直径的⊙O2交于点F，连CF并延长交AD于点H，FE⊥AB于点E，BG⊥CH于点G．（1）求证：CH是半圆O1的切线；（2）连接AF，求证：AF∥O1C；（3）当正方形ABCD的边长为5时，求四边形ABGF的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连AF，BF，O₁F，
∵CO₁为半圆O₂的直径，
∴∠O₁FC=90°，
∴CH是半圆O₁的切线；

（2）证明：∵AB为半圆O₁的直径，
∴∠AFB=90°，
而FE⊥AB，
∴∠AFE=∠ABF，
又∵∠ABF=∠O₁CF，
∴∠AFE=∠O₁CF，
∴AF∥O₁C；

（3）解：∵CH是半圆O₁的切线，
∴CF=CB，HA=HF，
设AH=x，则DH=5-x，CH=5+x，
在Rt△CHD中，CD²+DH²=CH²，即5²+（5-x）²=（5+x）²，
解得x=

5

4

，
∴CH=

25

4

，
易证得Rt△CBG∽Rt△HDC，
∴BG：CD=CB：CH，即BG：5=5：

25

4

，
解得BG=4，
∴GC=3，
∴GF=2，
∵HA∥CB∥EF，
∴AE：EB=HF：FC=

5

4

：5=1：4，
∴AE=1，
∴O₁E=

5

2

-1=

3

2

，
在Rt△O₁EF中，O₁F=

5

2

，
∴FE=2，
∴四边形ABGF的面积=S_△ABF+S_△BGF=

1

2

EF?AB+

1

2

BG?FG=

1

2

×2×5+

1

2

×2×4=9．