设随机变量(x,y)的概率密度f(x,y)=ce^[-2(x+y)] 0<=x<正无穷，0<=y<=正无穷

Question

求常数c，（x,y）的分布函数F（x,y）

Answer 1

对f(x,y)在区域0<=x<正无穷，0<=y<=正无穷
进行二重积分，
∫∫ f(x,y)dxdy
=c *∫(0到正无穷) e^(-2x) dx *∫(0到正无穷) e^(-2y) dy
= 1
显然
∫(0到正无穷) e^(-2x) dx = ∫(0到正无穷) e^(-2y) dy
= -1/2 *e^(-2x) 代入上下限正无穷和0
=1/2
故c/4=1，解得c=4
而分布函数为
F(x,y)
=4 *∫(0到x) e^(-2x) dx *∫(0到y) e^(-2y) dy
=[1-e^(-2x)] * [1-e^(-2y)]，0<=x<正无穷，0<=y<=正无穷