不定积分实际上是导函数的原函数集合,那么定积分跟不定积分有什么关系呢?为什么是求面积啊?这个面积是怎么回事?而且为什么定积分只与被积函数和积分区间有关而与积分变量无关?请高手给予详细解答。
我今天刚学N-L公式,定积分和不定积分的联系就是因为要用原函数F(b)-F(a),所以必须要求出一个原函数吗? 另一个问题,我可不可以这样理解,因为函数下的面积只与上限有关,是所取的定义域的范围决定了面积的大小,所以可以不管积分变量,只关注上限。那如果是这样,为什么当积分变量是t的时候,X又看作常数可以随意出入积分号呢? 请给予解答,我会加分的。
追答定积分的最终结果就是一个曲边梯形的面积,因此我们可以想象当函数确定,上下限都克定的话,那块面积已经是客观存在的,是个常数,所以与积分变量无关。这里注意积分结果与上限和下限都 有关,不是你说的上限,你把下限漏了。
另一个问题:当你遇到这样的函数,F(x)=∫ [a,b] xf(t) dt 这里[a,b]是积分限,或F(x)=∫ [a,x] xf(t) dt 积分时,此时 t 是积分变量,而x不是积分变量,x 是F(x)的自变量,对于F(x)来说,x是变量,对于那个定积分来说,x是一个参数,可以理解为常数,因此x可以随意出入这个定积分。记住,当定积分中包括两个不同变量时,其中一个是积分变量,另外一个对于积分来说可以当作常数看待。积分变量可以随便换字母的,当然在刚才那两个问题中,t不可以换成x。
还有最后要提醒你一下,N-L公式只不过是高数中求定积分常用的方法,并不是求定积分的唯一方法,在有些情况下,我们不求原函数也是可以把定积分算出来的,也就是说,我们不一定非要求原函数,才能算出那块面积。因此在高数中,求原函数是求定积分的主要方法,但不是唯一方法。
我的疑惑就在于此,按照你的说法当F(x)=[a,x] xf(t) dt时,明明控制结果的是x, 为什么自变量又反而是t,而且居然可以把x看作常数,这跟以前的函数思想不吻合啊,怎么会这样呢?那积分变量t岂不是在打酱油,成为走过场的一种形式了?
追答你把积分变量 t 理解为打酱油的也没错,因为积分只要一做完,它也就不存在了,而定积分的结果是客观存在的,F(x)=∫ [a,x] xf(t) dt,当你考查函数F(x)时,x是自变量,t 就是打酱油的,与函数没关系,当我们考查这个积分时,t 是积分变量,它不是自变量,它只为这个积分服务。
我想下面这个问题你肯定能理解,与下面这个类似:
f(n)= i 从1到n对 i^2求和;
f(n)= k 从1到n对 k^2 求和;
这两个东西是不是没有任何区别?其实它们都表示:1^2+2^2+...+n^2,f(n)的值随着n的不同而不同,i 或者 k 在这里就是打酱油的,它们只在求和中起作用,求和一旦做完,它们也就不存在了,因此真正f(n)的变量是n,这里 i 与n的关系,就是前面t与x的关系。
如果:f(n)= i 从1到n对 n*i^2 求和,即 n1^2+n2^2+...+n*n^2,这个n是不是可以从求和中提出来呢?这就与在对 t 做定积分中,x 可以提出来的道理一样。
其他的我看懂了。不过最后一条我还是没看懂,比如说自变量t在a到x之间变化,那x为什么就踢出去了呢?是不是我对定义理解不对啊,a和x就应该是t的变化区间吧?你的例子我倒是看懂了,不过没办法和x联系起来想。麻烦你辛苦再帮我解答一次。
追答x提出去是指f(x)=∫ [a,x] xf(t) dt=x∫ [a,x] f(t) dt,这里的x是可以提出去的,因为在做积分的时候,x是看作一个常数的,而积分做完后的结果是一个与x有关的函数。你实在理解不了就记住一点,积分里面只有t才是变量,其它所有的变量全是可以提出去的,离开积分后,x才是变量。
与我举的例子是一样的,在求和里面,i 是变量,离开求和后,n才是变量。i 的变化范围是1到n之间,但求和时,n是可以提出求和外面的,因为在求和里面,n相当于常数,当求和做完后,n可以当作变量。