正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
如图
因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
已知正方形ABCD的边长为4，BM=x
所以，CM=4-x
由(1)的结论知：Rt△ABM∽Rt△MCN
所以：AB/MC=BM/CN
即：4/(4-x)=x/CN
所以，CN=(4-x)x/4
而，直角梯形ABCN的面积S=(1/2)*(CN+AB)*BC
=(1/2)*[(4-x)x/4+4]*4=2*[(4-x)x/4+4]
=(1/2)x(4-x)+8=(-1/2)x^2+2x+8
因为点M在BC上，所以：0＜x＜4
即：Sabcn=(-1/2)x^2+2x+8（0＜x＜4）
=(-1/2)(x^2-4x+4)+10
=(-1/2)(x-2)^2+10
所以，当x=2时，Sabcn有最大值10
此时点M为BC中点
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值
要保证Rt△ABM∽Rt△AMN，其中∠ABM=∠AMN=90°
所以，∠BAM=∠MAN
【不可能满足∠BMA=∠MAN——因为∠BMA=∠MAD＞∠MAN】
所以：AB/AM=BM/MN……………………………………………（1）
在Rt△ABM中，由勾股定理得到：AM=√(16+x^2)
由(1)的过程知，CN=x(4-x)/4
所以，在Rt△MCN中由勾股定理得到：
MN=√{(4-x)^2+[x(4-x)/4]^2}=√{(4-x)^2+[x^2(4-x)^2/16]}
=√[(4-x)^2*(x^2+16)]/16
=[(4-x)/4]*√(x^2+16)
代入(1)中有：4/√(16+x^2)=x/[(4-x)/4]*√(x^2+16)
所以：x/(4-x)=1
解得：x=2
参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/16002311.html