每一行每一列只有一个元素为1，其余为0，则共有几个这样的行列式

Question

如题所述

Answer 1

总共有n！个，你可以这样理解，在n阶行列式0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 ... 0 中放置数字1，要求每行每列只能放一个1.
所以，每当你放一个1之后，这个1所在的行和列你就抹掉，根据这种理解方法，步骤如下：
在第一行放1，共有n种放置方法，然后抹去这个1所在的行和列，行列式就变成了n-1阶；
在剩下的n-1阶行列式中，在第一行放置1，共有n-1种放置方法，然后抹去这个1所在的行和列，行列式就变成了n-2阶。
依次放置然后抹去，直到最后为1中放置方法。
所以共有n*（n-1）*（n-2）...2*1 = n!个行列式。

Answer 2

共有 n! 个

Answer 3

N-1的平方个