（3）设三角形三边为a>b ≥ c, a对的角为钝角，于是
a² > b² + c²
首先要指出一个事实：当三角形两边之和固定时，差越小，面积越大。
不妨假设a,b,c使得三角形面积最大（由于是整数，只有有限种情况，最大一定存在。若非整数，最大值也是存在的，不过要用到高等数学的知识）
如果b > c+1,那么：
a² > b² + c² > (b-1)² + (c+1)²，但由a, b-1, c+1组成的钝角三角形面积更大，矛盾。
所以b = c或b = c+1
下面考虑a-1, b, c+1，由于它肯定不是面积最大的钝角三角形，所以
(a-1)² ≤ b² + (c+1)²
于是a² - b² - c² ≤ 2(a+c) ....... (*)
事实上，只要a,b,c满足b = c或b = c+1,,a² - (b² + c²) > 0 且最小，一定满足上述条件，且是唯一的一组(a,b,c)。此即为所求。
唯一性与存在性：设f(a,b,c) = a² - (b² + c²)。b和c的地位可看作是对称的，只是至多相差1，约束条件是a+b+c=定值。
如果 f(a,b,c) > 2(a+c)，考虑f(a-1,b, c+1) = f(a,b,c) - 2(a+c)，显然更小。而最小值总是存在的（正整数不能无穷减少）
唯一性：由上面可以看出，取得最小值的(a,b,c)稍微变一下，就不满足条件(*)。而取到最小值的(a,b,c)是唯一的。
下面求解a+b+c = 2013时的最小值。
大概是个等腰直角三角形，用2013/(2+√2)试一下，b大概在590附近，
f(833,590,590) = -2311,
f(834,590,589) = 535
所以834,590,589是最小的解。至于面积，用海伦公式算就可以了
追问
(1)二种取法是等价的。即从x1,y1的分布可以推出x,y的分布，但x1,y1是独立的，而x,y不是
证明涉及随机变量的替换。(x1,y1)是[0,1]*[0,1]上的均匀分布，分x1y1两种情况（都是一样的）.x1 0, y>0, z>0, x+y+z=1}这个三角形上考虑均匀分布，这里问题是完全对称的。我相当于在xoy平面上做的投影，因为总要变成平面上的问题才能计算。你也看到，我选取的那个双曲线和直线夹的区域是比较好算的，至少双曲线的方程变量是容易分离的。其余两块也是双曲线，不过不是标准的形式，积分不好操作。
(3)你可以借助椭圆来思考。固定一边的三角相当于椭圆的焦三角形。由于底一定，所以高越大，面积越大。当然还有其它方法，像海伦公式中用均值不等式：p(p-a)(p-b)(p-c) 0，其最小的正值是多少。这更偏向于一个数论的问题。对于(5)其实对于充分大的L，肯定是存在的。分类：
L = 4m, f(2m-1, m, m+1) = 2m² - 6m>0,当m>3
L = 4m+1, f(2m, m, m+1) = 2m² - 2m -1 > 0，当m > 1
L = 4m+2, f(2m,m+1, m+1) = 2m² - 4m - 2 > 0,当m > 2
L = 4m+3, f(2m+1, m+1, m+1) = 2m² - 1 > 0，当m > 0
其实这个函数的最大值一看便知，如上。8,10,12是仅有的三个例外。
对于(6)，事实上是求a:b:c类似最接近于√2 : 1 : 1。由于√2是个无理数，直觉上觉得解的表达会和√2的连分数展开有一些联系，像pell方程之类的，但我没时间就这一问题深入下去，你有兴趣就想想吧，应该是数论的范畴。表达式就算写出来，也不便于使用（会很复杂），所以给定具体数字，调整一下是最好不过了。
对，我最后是写错了。
关于（1）的严格证明，涉及到大学概率论中的随机变量的替换，和微积分中的变量替换的Jacobi行列式差不多。我想你以后会接触得到的。
(6)你的想法也是对的。我只不过把最大值直接看出来罢了（就是一个尽量接近于a = b+c的三角形）
下面是详细解答：
(1) 1/4=25%。
设左线段长L1，右线段长L2。则概率密度在0<L1，0<L2，L1+L2<1的(L1，L2)空间里均匀分布，就是图里的黑线区域。
下图左边的三根红线围成的区域就是（1）的区域：L1=1/2，L2=1/2，L1+L2=1/2。容易求出面积=1/8，故概率=(1/8)/(1/2)=1/4。
(2) 12×ln(2)-8。
下图右边的三根红线围成的区域就是（2）的区域：L1²+L2²=(1-L1-L2)²，L1²+(1-L1-L2)²=L2²，L2²+(1-L1-L2)²=L1²，积分一下（过程有点琐碎，不过确实都是可以积分的）可以得到3×ln(2)-2这个值。然后把这个值除以1/4（第一题的答案），就是最终的解。
(3) 面积约17375，边长为589，590和834。
总之，就是越接近1:1:√2，就行了，三边长为589，590和834。面积代个海伦公式就完了。
(1)和(2)已经用编程里的蒙特卡罗方法验证过，(3)用编程里的穷举法也验证过，答案应该都是对的。
追问恩，你的结果是正确的
我之前用两个[0.1]上的均允分布计算，左上部分面积是3/2*ln2-1
根据对称性，总的为3ln2-2，再除1/4
随机方法1)试了，2)没试
3)用lingo解了一下：
L=2013;
a+b+c=L;
a^2-b^2-c^2>=1;
a^2-b^2-c^2<=2*(a+c);
a>=b+1;
b>=c;
b<=c+1;
b+c>=a+1;
@gin(a);
@gin(b);
@gin(c);
中间两点位B，C，折叠后AD重叠（如果构成三角形）
B点必须在中点左侧，所以概率为1/2（B点在线段AD中点左侧的概率）
C点必须在BD中点的左侧， 概率1/4
所以1的答案是1/2*1/4 = 1/8
第三问就容易了
x+y+z=2013
等边是x=671
一边增长2，另两边减少1
直到成钝角即可追问
"C点必须在BD中点的左侧"
没说CD一定要大于BC
第三题给个结果