如图,在正方形abcd外取一点e

Question

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB= 5 ．则正方形ABCD的面积为______．

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AE⊥AP，AE=AP=1， ∴∠AEP=∠APE=45°，∠EAF=∠BAD=90°， ∵∠BAP=∠BAP， ∴∠EAB=∠PAD， ∵在△EAB和△PAD中 AB=AD ∠EAB=∠PAD AE=AP ∴△EAB≌△PAD（SAS）， ∴∠EBA=∠ADP，BE=DP，∠APD=∠AEB=180°-45°=135°， ∴∠PEB=135°-45°=90°， 即△BEP是直角三角形， ∵AE=AP=1， ∴由勾股定理得：EP= 1 2 + 1 2 = 2 BE=DP= B P 2 -E P 2 = 3 ， 过B作BF⊥AE交AE的延长线于F，连接BD， 则∠FEB=180°-135°=45°， ∴∠EBF=45°=∠FEB， ∴EF=BF， ∵BE= 3 ， ∴由勾股定理得：BF=EF= 6 2 ， ∴S △APB +S △APD =S △APB +S △AEB =S 四边形AEBP =S △AEP +S △PEB = 1 2 ×1×1+ 1 2 × 2 × 3 = 1 2 + 1 2 6 ， ∵S △DPB = 1 2 ×DP×BE= 1 2 × 3 × 3 = 3 2 ， ∴S正方形ABCD=2S △ABD =2（S △BPD +S △APD +S △APB ）=2×（ 1 2 + 1 2 6 + 3 2 ）=4+ 6 ， 故答案为：4+ 6 ．