已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF垂直BD交BC于F

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点做EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG
1.求证:EG=CG
2.将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问1中的结论是否仍然成立?请证明
3.将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应线段,问1中结论是否成立,EG是否垂直于CG,请证明
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匿名 回答:0 人气:89 提问时间:2009-08-15 16:12

(1)解:EG=CG,理由如下
因为四边形ABCD是正方形,所以角BCD=90°
因为EF垂直于BD,所以角DEF等于90°
又因为G为DF中点,所以EG=1\2DF,CG=1\2DF
所以EG=CG
(2)解:EG=CG,理由如下
连接AG,易证AG=CG
因为角BEF=角BAD
所以EF平行于AD,四边形AEFD是梯形
因为G是DF中点,作GM平行于AD交AB于M点
所以MG是梯形中位线,AM=ME,角EMG=90°
所以三角形AGE是等腰三角形,所以AG=GE
又因为AG=CG,所以EG=CG
(3)EG=CG
角EGC=90°,嘿嘿,这个我还没证出来,不过结论应该是这个
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第1个回答  2012-03-09
解:前两个问已经有人回答了。
(3)连接CG、DG、EG,延长CG至M,使CG等于MG,再连接MF
因为G为DF中点,可证三角形MGF全等于三角形GDC,DC//MF
连接ME、EC,因为EF=EB, 延长BC至H,设EF与AB交于Q,
所以角EBH等于角EQB等于角AQF,可证角MFE等于角EBC
所以,三角形EBC全等于三角形EFM
所以,三角形MEC为等腰直角三角形,GE为等腰直角三角形斜边中线,
SO,EG=CG,EG垂直CG
真的有一点难呢,想了好久~
第2个回答  2012-11-18
(1)证明:在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=12FD,
同理,在Rt△DEF中,
EG=12FD,
∴CG=EG.
(2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG;
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG,
∴MG=NG;
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG与△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG,
∴EG=CG.
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=12MC,
∴EG=CG.
(3)解:(1)中的结论仍然成立.理由如下:
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG.
点评:本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质.
第3个回答  2012-02-23
不是的