矩阵的相似变换是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

由于酉矩阵乘以酉矩阵还是酉矩阵，多次相似变换可以看作一次相似变换。

一个矩阵对应着一个线性变换，两矩阵相似其实就是说同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下的表示（矩阵）不同。

两矩阵相似就意味着存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B则A与B相似其实就是说A和B相似于同一个对角阵（当然了，前提是可以相似对角化，也就是说，A和B都有列数个或行数个线性无关的特征向量）这个结论等价于A与B有完全相同的特征值。

矩阵的初等变换和相似变换的区别

1、矩阵的初等变换针对一个矩阵而言，除了不改变其秩外，其他相关的特征指标都会产生变化。矩阵的相似变换针对两个方阵而言，相似变换是一种等价关系，所以相似变换不改变两个矩阵的秩，迹，行列式，特征多项式，特征值，等等。通过相似变换，可将方阵变换为对角矩阵（当然不一定所有方阵都可对角化）。

2、由于对角矩阵具有简单的运算性质，所以相似变换可简单矩阵的相关运算。矩阵的初等变换和相似变换是两种不同的变换方式，一般变换过程不同，但相似变换可以用初等变换来实现，当然这只是一种计算方式，所以不能说相似变换是初等变换的一种特殊形式。