如图，等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点o在AE上，圆o与AB和BC分别相切。

Question

如图，等腰三角形ABC中，AE是底边BC上的高，点o在AE上，圆o与AB和BC分别相切。
（1）圆o是否为三角形ABC的内接圆？请说明理由。
（2）若AB=5,BC=4,求圆o的半径

Answer 1

（1）

分别作OF、OG垂直AB、AC

∵ E、F分别是BC、AB和⊙O的切点

∴ OE⊥AB   OF⊥AB

∵ OE=OF

∴ BO平分∠ABC

∵ AE平分∠BAC（三线合一）

∴ CO平分∠ACB（三个角的平分线相交于一点）

OG=OE

G为AC与⊙O的切点

⊙O为三角形ABC的内接圆 

（2）

BE=1/2BC=2 ，根据勾股定理

AE=√21

∵ ∠ABC +∠BAE = 90     ∠AOF +∠BAE = 90

∴ ∠ABC =∠AOF

∵ ∠AEB =∠AFO = 90

∴ △ABE ∽△AOF

AB/AO = BE/OF

∵ AO = AE - r  （r为圆的半径） OF = r

∴ 5  /（√21 - r ）=  2 / r

r = 2√21 / 7