第五题换元法令x=acosx+a，可以求解第六题，可以用倍角公式，化简求解
第六题有些难做
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第1个回答 2020-12-12
分享解法如下。(5)题，应用定积分的几何意义和性质求解。令x=a-t。∴原式=∫(-a,a)(a-t)√(a²-t²)dt=a∫(-a,a)√(a²-t²)dt-∫(-a,a)t√(a²-t²)dt。
前一个积分的几何意义是半径为a的半圆面积，其值为πa²/2。后一个积分，t√(a²-t²)是奇函数，且积分区间对称，其值为0。∴原式=πa³/2。
(6)题，左边=(1/2^n)∫(0,π/2)(sin2x)^ndx。令2x=t。左边=[1/2^(n+1)]∫(0,π)(sint)^ndt。
将(0,π)拆分为(0,π/2)∪(π/2,π)、对后积分令t=π-x换元、经整理，左边=(1/2^n)∫(0,π/2)(sinx)^ndx。再令x=π/2-t换元，等式得证。
供参考。追问
前一个积分的几何意义是半径为a的半圆面积，其值为πa²/2。后一个积分，t√(a²-t²)是奇函数，且积分区间对称，其值为0。∴原式=πa³/2。
(6)题，左边=(1/2^n)∫(0,π/2)(sin2x)^ndx。令2x=t。左边=[1/2^(n+1)]∫(0,π)(sint)^ndt。
将(0,π)拆分为(0,π/2)∪(π/2,π)、对后积分令t=π-x换元、经整理，左边=(1/2^n)∫(0,π/2)(sinx)^ndx。再令x=π/2-t换元，等式得证。
供参考。追问
能用纸写一下吗
追答如图。
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