为什么矩阵的转置矩阵的行列式不变？

Question

如题所述

Answer 1

推导过程如下：

由题目可得：

因为 |A|=|A'| 转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式

而乘积矩阵的行列式等于行列式的乘积 |AA'|=|A||A'|

所以 ：

|AA'|=|A||A'|=|A||A|=|A|²

扩展资料：

类似问题：

1，一阶矩阵的转置不变

例1，设A为n阶方阵,X=(x1,… ,xn)′，二次型f= X′AX的矩阵的计算：

解　因为未假设A对称，所以f= X′AX虽然是n元二次型，但不能肯定其矩阵是A。只有A对称时，二次型f= X′AX的矩阵才是A。

由于一阶矩阵的转置不变,所以(X′AX)′=X′AX,即就是：X′A′X= X′AX。

由此可得:f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。

注意到1/2(A+ A′)是对称矩阵,所以二次型f= X′AX的矩阵为1/2(A+ A′)。

参考资料来源：百度百科--行列式

参考资料来源：百度百科--转置