已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，若存在正实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x）总成立则称h(x)在

Question

f(x),g(x)在R上的生成函数 若f（x）=sinx/2,g(x)=cos2x
（1）判断函数y=sinkx（k属于R）是否为f(x),g(x)在R上的生成函数，请说明理由

Answer 1

判断y=sinkx是不是f(x),g(x)的生成函数，要看原函数的周期与此函数的周期是否相同
因为周期函数的和的周期是其中最大的周期 ，所以
h(x)=msinx/2+ncos2x的周期是（2派)/2=π,
即cos2x的周期，
因为y=sinkx的周期是（2派)/k，
那么当这两个周期相同时即k=2时，生成函数

Answer 2

：（1）若函数y=sinkx，（k∈R）是f（x），g（x）在R上的生成函数，
则存在正实数m，n使得sinkx=恒成立，
取x=0得：0=n，不符合n＞0这个条件，
故函数y=sinkx，（k∈R）不是为f（x），g（x）在R上的生成函数，

Answer 3

1.y=sin5x不是f(x),g(x)的生成函数，
因为周期函数的和的周期是其中最大的周期
h=msinx/2+ncos2x的周期是（2派)/2,
即cos2x的周期，
而y=sin5x的周期是（2派)/5，
二者周期不同，因此不可能相等。
或者取x=派/2，特例带入验证，一个是整数，一个是无理数，显然不等 ，
由特例可以知道y=sinkx(k属于R)不是f(x)g(x)在R上的生成函数
由h(派/3)=1，得到（m-n）/2=1，
所以m=n+2
然后由h(x)的最大值=4，
可知（2+n)sinx/2+ncos2x的最大值为4，
显然当x=派，取最大，
此时h(派)=2+n+n=4
所以n=1,m=n+2=3.h(x)=3sinx/2+cos2x