A是3阶实对称矩阵，A²+2A=O ，则A的特征值是0或2. 这是为什么？谢谢

Question

写错了，应该是0或-2

Answer 1

解: 设 a 是A的特征值
则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值 (这是个定理)

因为 A^2+2A = 0, 且零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2+2a = 0
即 a(a+2) = 0
所以 a = 0 或 a = -2.
即 A的特征值只能是0或-2.

看了楼上解答, 忍不住再答一下.
1楼乱解答, 会误人的.
2楼不能说明特征值只能有0和-2

Answer 2

设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所奇异矩阵特征值
得到的向量和X 仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。

因为A^2+2A=0
那么A(A+2E)=0
故|A(A+2E)|=0
即|A||A+2E|=0

那么特征值应该是0与-2
你的答案是不是错了？

参考资料：http://baike.baidu.com/view/689250.htm

Answer 3

首先有 |A| = (1/2)*(1/2)*(1/3) = 1/12
所以 A* = |A|A^(-1)
所以 12A* = 12*(1/12)A^(-1) = A^(-1)
所以 (0.5A^2)(-1) = (1/0.5)(A^2)^(-1) = 2(A^(-1))^2
所以 (0.5A^2)(-1)12A* - E = 2[A^(-1)]^3 - E.

再由A的特征值为1/2,1/2,1/3得 A^(-1)的特征值为 2,2,3
所以 2[A^(-1)]^3 - E 的特征值为 2*2^3 - 1, 2*2^3 - 1, 2*3^3 - 1, 即15,15,53
所以 | 2[A^(-1)]^3 - E | = 15*15*53
所以 |(0.5A^2)(-1)12A* - E| = 15*15*53

结论数值有些大, 是不是题目有问题, 不过思路就是这样.
有问题请追问
满意请采纳^_^
7月w0

Answer 4

首先有 |A| = (1/2)*(1/2)*(1/3) = 1/12
所以 A* = |A|A^(-1)
所以 12A* = 12*(1/12)A^(-1) = A^(-1)
所以 (0.5A^2)(-1) = (1/0.5)(A^2)^(-1) = 2(A^(-1))^2
所以 (0.5A^2)(-1)12A* - E = 2[A^(-1)]^3 - E.

再由A的特征值为1/2,1/2,1/3得 A^(-1)的特征值为 2,2,3
所以 2[A^(-1)]^3 - E 的特征值为 2*2^3 - 1, 2*2^3 - 1, 2*3^3 - 1, 即15,15,53
所以 | 2[A^(-1)]^3 - E | = 15*15*53
所以 |(0.5A^2)(-1)12A* - E| = 15*15*53

结论数值有些大, 是不是题目有问题, 不过思路就是这样.
有问题请追问
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7月D8

Answer 5

A²+2A=O
A（A+2）=0
得A=0或A+2=0追问

A+2=0 为什么A的特征值是-2？

追答

A的特征值是0或-2