几何求证题

Question

矩形ABCD中，CE⊥BD，AM平分∠BAD交EC的延长线于M，求证：CM=BD
另外再追加100分加两题哈：（每题50分）
2、形ABC，过C点作过AB的任意一直线交AB于点F，与边BC的中线AD交于点E。求证：AE：ED=2AF：FB
3、如下图所示：

Answer 1

1、过M做AB垂线MP交AB延长线于P 

∠BAD的平分线AM，∠BAD=RT∠ 

所以：∠AMP=∠MAP=45° 

因BC平行MP 

有∠ECB=∠EMP=∠CDB=∠CAB 

所以：∠EMP-∠AMP=∠CAB- ∠MAP

所以：∠MAC=∠AMC 

所以：CM =AC=BD

2、证明：过D作DG//CF交AB于G

∵DG//CF

∴∠DGB=∠CFB，∠DGA=∠EFA

又∵∠DBG=∠CBF，∠DAG=∠EAF

∴△DBG∽CBF，△DAG∽△EAF

∴BG:BF=BD:BC(即GF:BF=DC:BC)，GA:FA=DA:EA(即GF÷FA=DE÷EA)

∵AD是△ABC的中线

∴D为BC的中点

∴BD=DC，即DC:BC=1:2

∴GF:BF=1:2，即BF÷GF=2

必有(BF÷GF)×(GF÷FA)×(FA÷BF)=(BF÷BF)×(GF÷GF)×(FA÷FA)=1

把BF÷GF=2和GF÷FA=DE÷EA代入，替换BF÷GF和GF÷FA，得：

2×(DE÷EA)×(FA÷BF)=1

上式变形可得

2×(FA÷BF)=EA÷DE

即AE:ED=2AF:FB

得证

3、详解如下图：

Answer 2

证明：过A点作AF⊥BD于F 

        ∵矩形ABCD 

        ∴AC＝BD，OA＝  AC，OD＝  BD 

        ∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA 

        ∵∠BAD＝90°，AF⊥BD 

        ∴∠BAF＋∠ABD＝90° 

          ∠ADB＋∠ABD＝90° 

        ∴∠BAF＝∠ADB（同角的余角相等） 

        ∴∠BAF＝∠OAD 

        ∵∠BAM＝∠DAM 

        ∴∠BAM－∠BAF＝∠DAM－∠OAD 

        即  ∠1＝∠2 

        又∵ME⊥BD，AF⊥BD 

        ∴AF‖ME 

        ∴∠2＝∠M 

        ∴∠1＝∠M 

        ∴AC＝CM 

        ∴BD=CM

Answer 3

证明：设AM与BC交于F，延长AB至G，使BG=FC，连结DG
∵CE⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，而∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，∴∠MCF=∠DBG
∵AM平分∠BAD，∴∠BAF=(1/2)∠BAD=45°，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB=BF，又BG=FC，∴AB+BG=BF+FC，即AG=BC=AD，∴△ADG也为等腰直角三角形，∴∠G=45°。而∠CFM=∠AFB=45°，∴∠G=∠CFM
再加上BG=CF
有△DBG≌△MCF，∴CM=BD

Answer 4

证明：设AM与BC交于F，延长AB至G，使BG=FC，连结DG

∵CE⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，而∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCE=∠ABD，∴∠MCF=∠DBG

∵AM平分∠BAD，∴∠BAF=(1/2)∠BAD=45°，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AB=BF，又BG=FC，∴AB+BG=BF+FC，即AG=BC=AD，∴△ADG也为等腰直角三角形，∴∠G=45°。而∠CFM=∠AFB=45°，∴∠G=∠CFM

再加上BG=CF

有△DBG≌△MCF，∴CM=BD

Answer 5

1.证明：过A点作AF⊥BD于F
∵矩形ABCD
∴AC＝BD，OA＝ AC，OD＝ BD
∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA
∵∠BAD＝90°，AF⊥BD
∴∠BAF＋∠ABD＝90°
∠ADB＋∠ABD＝90°
∴∠BAF＝∠ADB（同角的余角相等）
∴∠BAF＝∠OAD
∵∠BAM＝∠DAM
∴∠BAM－∠BAF＝∠DAM－∠OAD
即 ∠1＝∠2
又∵ME⊥BD，AF⊥BD
∴AF‖ME
∴∠2＝∠M
∴∠1＝∠M
∴AC＝CM
∴BD=CM
2.证明：过D作DG//CF交AB于G

∵DG//CF

∴∠DGB=∠CFB，∠DGA=∠EFA

又∵∠DBG=∠CBF，∠DAG=∠EAF

∴△DBG∽CBF，△DAG∽△EAF

∴BG:BF=BD:BC(即GF:BF=DC:BC)，GA:FA=DA:EA(即GF÷FA=DE÷EA)

∵AD是△ABC的中线

∴D为BC的中点

∴BD=DC，即DC:BC=1:2

∴GF:BF=1:2，即BF÷GF=2

必有(BF÷GF)×(GF÷FA)×(FA÷BF)=(BF÷BF)×(GF÷GF)×(FA÷FA)=1

把BF÷GF=2和GF÷FA=DE÷EA代入，替换BF÷GF和GF÷FA，得：

2×(DE÷EA)×(FA÷BF)=1

上式变形可得

2×(FA÷BF)=EA÷DE

即AE:ED=2AF:FB

得证

Answer 6

连AC交BD于O

∵ABCD是矩形

∴AC=BD,OD=OA,∠BAD=90°

∴∠ODA=∠OAD, ∠COE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD

∵AM是角平分线

∴∠MAD=∠BAD/2=45°

∴∠OAD=∠MAD-∠CAM=45°-∠CAM, ∠COE=2(45°-∠CAM)=90°-2∠CAM

∴2∠CAM+∠COE=90°

∵EM⊥BD

∴∠ACE+∠COE=90°

∴∠ACE=2∠CAM

∵∠ACE=∠CAM+∠CMA

∴∠CAN=∠CMA, CA=CM

∴CM=BD