已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120看 问题补充 回答完了再给加80分

Question

已知：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=DC，∠BCD=120°，将直角三角板PMN的30°角的顶点P与点A重合，旋转三角板PMN，在旋转过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF．（1）当E、F分别在线段BC、CD上时，（如图①），求证：EF=BE+DF；（2）当E、F分别在直线BC、CD上时，（如图②），猜想线段EF、BE、DF之间的数量关系，并加以证明；
（3）当E、F分别在直线BC、CD上时，（如图③

），猜想线段EF、BE、DF之间的数量关系，并加以证明；

Answer 1

分析，
1，延长CB到Q，使BQ=DF，再连接AQ，AC
AB=AD，BC=DC，AC=AC
∴△ADC≌△ABC(边边边)
∴∠ADC=∠ABC
又，∠BAD=60º，∠BCD=120º
∴∠ADC+∠ABC=180º
∴∠ADC=∠ABC=90º
又AD=AB，BQ=DF
∴RT△ADF≌RT△ABQ
∴DF=BQ，AF=AQ，∠FAD=∠BAQ
又∠FAE=30º
∠FAD+∠BAE=60º-∠FAE=30º
∴∠BAQ+∠BAE=30º=∠EAQ
∴∠EAQ=∠FAE=30º
又AF=AQ，AE=AE(公共边)
∴△EAF≌△EAQ，
即是，EF=EQ
EQ=BE+BQ
=BE+DF
∴EF=BE+DF。

2，在BC上取点H，使BH=DF，连接AH
AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴RT△ABH≌RT△ADF
∴AF=AH，∠DAF=∠BAH
又，∠EAF=30º=∠DAF+∠EAD
∴∠BAH+∠EAD=30º
又，∠BAD=60º
∴∠EAH=∠BAD-(∠BAH+∠EAD)=30º
即是，∠EAH=∠EAF=30º
又，AF=AH，AE=AE(公共边)
∴△AEF≌△AEH（边角边）
∴EF=EH，
BE=BH+EH=DF+EF
∴EF=BE-DF

3，在DC上取点S，使DS=BE，连接AS
AB=AD，∠D=∠ABE=90º
∴RT△ABE≌RT△ADS
∴AS=AE，∠DAS=∠BAE，
又，∠FAE=30º=∠FAB+∠BAE
∴∠FAB+∠DAS=30º
∠SAF=∠BAD-(∠FAB+∠DAS)=30º
∴∠SAF=∠EAF=30º
又，AS=AE,AF=AF(公共边)
∴△ASF≌△AEF，
∴EF=SF，
DF=DS+SF=BE+EF
∴EF=DF-BE。

【备注，三道题都是用同样的方法，可以说，这类的题都是用这样的方法来做：构造三角形。】