如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE=CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC

Question

如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE=CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH．（1）若DE=10，求线段AB的长；（2）求证：DE-HG=EG．

Answer 1

（1）解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴x²+（2x）²=10²，
∴x=2

5

，
∴AB=2AE=4

5

；

（2）证明：在正方形ABCD中，
易证RT△CDF≌RT△DAE，
∴∠FCD=∠ADE，
∴∠GDC+∠DCF=90°，
∴∠DGC=∠CGE=90°，
∴∠EGC=∠EBC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C、G、E四点共圆，
∠AED=∠BCG，
连EC，
∴∠BGC=∠BEC，
∵BE=EA，BC=AD，
∴RT△BCE≌RT△ADE，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又∵BH平分∠GBC，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH=HC，
∴GH=DG，
∴△DGH是等腰直角三角形，
即：DE-HG=EG．