极限存在的条件是什么？为什么分式中分母等于0就可以推出分子也等于0？

Question

如题所述

Answer 1

极限存在意味着存在一个有限大的数，使得在某点附近的小临域内的函数值与这个有限大的数的差的绝对值小于任何事先规定的任意小的正数。
极限的定义什么我就不讲了，就讲你迷惑的那里。极限存在意味着极限是有限值。
如果分式中分母趋于0，而分子不趋于0的话，分子可能为一个非零的有限值，也可能为无穷大不管哪种情况。
非零的有限值除以无穷小=无穷大，无穷大除以无穷小=无穷大，都不是有限值。也就是极限不存在。
所以反过来就知道
分式中分母趋于0就可以推出分子也趋于0，
而无穷小除以无穷小是有可能有极限的。

Answer 2

可以证明啊。
设lim（x→a）f（x）/g（x）=k（k是有限常数），lim（x→a）g（x）=0
证明lim（x→a）f（x）=0
因为f（x）=g（x）*f（x）/g（x）
所以lim（x→a）f（x）
=lim（x→a）g（x）*f（x）/g（x）
=lim（x→a）g（x）*lim（x→a）f（x）/g（x）
=0*a
=0
就是这样证明的。