旋转曲线的问题

Question

PQ为经过抛物线y2=2px焦点的一条弦，MN为PQ在准线l上的投影，PQ饶l旋转一周所得的旋转面面积为S，求S的表达式。（可用PQ，PM，QN，MN等表示）

（不要用一些积分式！）

Answer 1

旋转一周得到的是一个圆台的侧面

事实上，对圆柱，圆锥，圆台，有统一的计算侧面的公式：

S=S'*∏/sin A

其中S'为过旋转轴的截面积，A为母线与旋转轴的夹角，S为侧面积

注意到
sin A=MN/PQ
S'=2S(MNQP)=(PM+QN)MN=(PF+QF)MN=PQ*MN(此式由抛物线的定义得到，其中F为焦点)

于是所求为
S=S'∏/sin A=∏*PQ^2

Answer 2

　　定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。
　　例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
　　面积计算方式
　　如果曲线由参数方程、给出，其中，且旋转轴是轴，则旋转曲面的面积由以下的积分给出：
　　条件是非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。
　　来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。是这一小段的（重心的）路径。
　　如果曲线的方程是y=f(x)，a≤x≤b，则积分变为：
　　（绕着x轴旋转），
　　（绕着y轴旋转）。
　　这可以由以上的公式推出。
　　例如，单位半径的球面由曲线x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋转而得，其中。所以，它的面积为：
　　对于半径为r的圆绕着x轴旋转所得的曲面，

Answer 3

2派*p*PQ