算符(或矩阵)的本征值和本征函数是指满足:Aψ=λΨ。λ是本征值(常数),Ψ是本征函数。
算符A作用于函数f(r)上，得出另一个函数F(r)。若算符A作用于一些特定的函数序列Ui(r)上(i=1，2，…)的结果都等于一常量乘同一函数，即Ci*F(r)的形式(i=1,2,3,4.......)。则称常数Ci为算符A的本征值,Fi(r)(原函数)称为属于这个本征值的本征函数。上式称为算符A的本征值方程。
在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态称为这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。算符A作用于函数f(r)上，得出另一个函数培数F(r)。
若算符A作用于一些特定的函数序列Ui(r)上(i=1，2，…)的结果都等于一常量乘同一函数，即Ci*F(r)的形式(i=1,2,3,4.......)。则称常数Ci为算符A的本征值,Fi(r)(原函数)称为属于这个本征值的本征函数。上式称为算符A的本征值方程。
在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态称为这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。
本征向量的定义及性质：
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要配灶首性。
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。
线性变换的主特征向量是最大特辩腊征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。
该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。