已知函数f（x）的定义域是R，若f(x-2)是偶函数，f(x+7)也是偶函数，且[0,7]上只有x=1和

Question

已知函数f（x）的定义域是R，若f(x-2)是偶函数，f(x+7)也是偶函数，且[0,7]上只有x=1和x=3两个零点，则区间[-2013,2013] 共有几个零点 答案是806个 求详细过程

Answer 1

1、
设g(x)=f(x-2)，则g(-x)=f(-x-2)
由g(-x)=g(x)，得f(-x-2)=f(x-2)，
即f(-2+x)=f(-2-x)，可见y=f(x)的图像关于直线x=-2对称，
同理，由f(7+x)=f(7-x)，得y=f(x)的图像关于直线x=7对称。
【从图像来考虑：
对任意a，点(a，f(a-2)是函数y=f(x-2)上一点，则(a-2，(fa-2))是y=f(x)图像上一点，
即y=f(x-2)图像上的点向左平移2个单位得到y=f(x)图像上的点。反之亦然。
所以y=f(x-2)的图像向右平移-2个单位（向左平移2个单位）即得到y=f(x)的图像，
从而y=f(x-2)的对称轴向左平移2个单位即得到y=f(x)的对称轴，
同理，y=f(x+7)的对称轴向右平移7个单位即得到y=f(x)的对称轴】
由上面的讨论，我们已经看到y=f(x)的两条对称轴x=-2和x=7
2、
接下来产生的新想法，如果以两条对称轴中间的一条为对称轴，另一条的对称图形是什么呢？
例如直线x=-2关于直线x=7（对称轴）的对称图形是什么？
很显然是直线x=16，并且也是对称轴。
那么直线x=-2右面的图像上的点又会怎样呢？例如(1，f(1))，在直线x=-2的右方3单位
即1=-2+3，又1=7-6，所以(1，f(1))关于直线x=7的对称点为(7+6，f(1))，即(13，f(1))也在y=f(x)的图像上
不过(1，f(1))，在直线x=-2的右方3单位，而(13，f(1))在直线x=16的左方3单位。
但是(1，f(1))关于x=-2的对称点是(-2-3，f(1))，即(-5，f(1))在函数y=f(x)的图像上，
而(-5，f(1))关于x=7的对称点(19，f(1))恰是(13，f(1))关于直线x=16的对称点，也在函数y=f(x)的图像上。
3、
由此我们觉得y=f(x)是个周期函数，18是它的一个正周期，下面给出推证：
对任意a∈R，点(a，f(a))在函数图像上
又f(a)=f(-2+(a+2))=f(-2-(a+2))=f(-4-a)=f(7-(11+a))=f(7+(11+a))=f(a+18)，
所以y=f(x)是周期函数，18是它的一个正周期。
4、
我们只要求出在一个周期里函数有几个零点。这个周期我们取[-2，16]
f(1)=f(7-6)=f(7+6)=f(13)=f(-2+15)=f(-2-15)=f(-17)=f(7-24)=f(7+24)=f(31)——出界了！
再看看
f(1)=f(-2+3)=f(-2-3)=f(-5)=f(7-12)=f(7+12)=f(19)=f(-2+21)=f(-2-21)=f(-23)=f(7-30)=f(7+30)=f(37)
f(3)=f(7-4)=f(7+4)=f(11)=f(-2+13)=f(-2-13)=f(-15)=f(7-22)=f(7+22)=f(29)
f(3)=f(-2+5)=f(-2-5)=f(-7)=f(7-14)=f(7+14)=f(21)=f(-2+23)=f(-2-23)=f(-25)=f(7-32)=f(7+32)=f(39)
这样在[-2，16]上我们只能保证有4个零点[f(1)、f(3)、f(11)、f(13)]
【原题的[0，7]有问题，因为不能确定[-2，0]上有没有零点，当它没有吧！】
5、
[-2，2013]区间长为2015，2015=18×111+17，有4×112=448个零点；
[-2013，-2]区间长为2011，2011=18×111+13，有4×111+3=447个零点
[f(-2013)=f(-2-18×112+5)=f(-2+5)=f(3)=0]；
所以共有895个零点。

和你的答案不一致，帮我检查一下有木有算错的地方！谢谢。追问

？

追答

思路是这样的：
根据题设条件，猜测是周期函数；
得出一个正周期；
推导一个周期里零点的个数；
整个区间有几个周期并考虑极端状况（区间两端）下的零点。

Answer 2

解：∵y=f（2-x）与y=f （7+x）都是偶函数，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），
即f（x）关于x=2和x=7对称．
∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（4-x）=f（x），
∵f（7-x）=f（7+x），
∴f（4-x）=f（10+x）
∴f（x）=f（10+x），
即10是函数f（x）的一个周期
∵f（7-x）=f（7+x），
函数f（x）在[4，7]上无根．
∴函数f（x）在[7，10]上无根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3，
在［0，2013］上 . f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式 .且0≤n
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202个
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202个

在［-2013,0］上.f（x）=0的根为1-10n或3-10n的形式 .且0≤n
-2013≤1-10n≤0,解得0.1≤n≤201.4,共201个
-2013≤3-10n≤0,解得0.3≤n≤201.6，共201个

综上所述，共有202+202+201+201=806个根。